『科学談話室』の話題より
並列無限個の電気抵抗
2004/01/28 話題提供
2004/04/14 最終更新
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[danwa:0945]　並列無限個の電気抵抗
Date:Wed, 28 Jan 2004 21:33:21 From: Ando S.
Ando S.です。

先日、次のような問題が話題になりました。

抵抗値が同じ（R）の抵抗が、3個直列に接続されています。全体の抵抗値 は、3Rになります。

−−−R−−
　　　　　　　　　　|
　　　　　　　　　　R
　　　　　　　　　　|
−−−R−−

ここで、真ん中の抵抗に、やはり同じRの抵抗を無限に並列に接続したと き、全体の抵抗値はいくらになるでしょうか? という問題です。

−−−R−−
　　　　　　　　　　|
　　　　　　　　　　R ・・・・
　　　　　　　　　　|
−−−R−−

直感的には、真ん中の並列部分の抵抗値が限りなくゼロに近づくので、全体 の抵抗値は2Rになるということだと思います。

しかし、ちょっと待ってください。真ん中の無限にある抵抗の各1個に流れ る電流は、分散されることで限りなくゼロになります。つまり、真ん中の抵 抗のどれにも電流が流れなくなるのです。したがって、電流が流れないとい うことからすると、全体の抵抗値は無限大になると言えます。

一種のパラドックスですね。

みなさんは、これをどのように整理されます?

私は、私なりの整理をしているのですが、それに対する確信はありません。 みなさんの考えをお聞かせください。


[danwa:0947]　Re: 並列無限個の電気抵抗
Date:Wed, 28 Jan 2004 22:14:04 From: 桜井
　桜井です。

　ゼノンのパラドックスに似た命題ですね。
　
　無限に並列にされた抵抗の１個ずつに流れる電流は、無限小かも知れま せんが、それが無限大個あるという点に着目すれば、前後のＲで規定され る電流が各抵抗分散して限りなくゼロに近づくかも知れませんが、ゼロに なる必然性はありません。無限小×無限大＝有限値だと思います。


[danwa:0948]　Re: 並列無限個の電気抵抗
Date:Thu, 29 Jan 2004 23:21:23 From: Ando S.
Ando S. です。
桜井さんこんばんは。

[danwa:0947] 桜井さん：
> る電流が各抵抗分散して限りなくゼロに近づくかも知れませんが、ゼロに
> なる必然性はありません。無限小×無限大＝有限値だと思います。

私の考えも同じです。
ポイントは、第一に、「無限小はゼロではない」ということにあるのだろう と思います。私は、そこに気付くのに大分時間を要しましたが、桜井さんは あっさりとそこに気付かれたようで、敬服します。

それでも、無限小×無限大が、発散ではなく、ある値に収束するということ は、確かだろうかという疑問が残りました。

しかし、よく考えてみると、別の局面では、このこと（無限小×無限大＝有 限値）を何の疑問もなく承認しているのに気付きました。それは、積分の考 え方です。例えば、円の面積を求めるとき、内接正多角形を考え、その辺の 数を増やしていくと限りなく円に近づくことを応用します。このとき、辺の 数と同じだけの等しい二等辺三角形ができ、その面積は簡単に求まることか ら、円の面積が計算できるということです。

この場合、辺の数を増やせば増やすほど、計算の基になる一つ一つの二等辺 三角形の面積は、限りなくゼロに近づきます。何のことはない、これも、実 はパラドックスなのです。

同じことが、円の面積では何の悩みもなく当然のこととばかり受け入れなが ら、形を変えて抵抗と電流の問題にすると悩み、つまづいてしまうところ に、自分ながらに苦笑したということです。


[danwa:0949]　Re: 並列無限個の電気抵抗
Date:Sat, 31 Jan 2004 13:21:37 From: 浦田
浦田です。
　流れる電流の最小単位は電子一つの電荷なので　１秒に流れる電子の数より 並列抵抗が増えた場合、電子が流れない抵抗が存在しはじめると考えまし た。したがって　抵抗を無限に増やしても　最低でも電流に応じた電子の数と 同じ本数の抵抗に電子が流れるのではないでしょうか。

　Rは１秒に１クーロンの電荷が流れた場合の電圧と定義されてるようなの で、その発生電圧（抵抗）は　電子一つの電荷を　e　クーロン　とすれば　 R×e　が真中の抵抗（発生電圧）。

　合成抵抗は ２R + R×e これほとんど２R。

電子の流れる抵抗には　上記の電圧が発生するけれど、流れない抵抗の影響は ？　と考えると、わかりませんでした。


[danwa:0950]　Re: 並列無限個の電気抵抗
Date:Sat, 31 Jan 2004 17:19:01 From: 桜井
　桜井です。

電流の細分という問題は、思考実験としては面白いのですが、工学屋と しては、電子の個数までは考慮に入れないので、私には分かりません。

　ただ、並列抵抗の合成抵抗値は、ｎＲではなく、Ｒ/ｎです。無限個数 の並列抵抗の合成値は　Ｒ/ｎ∞≒０になります。


[danwa:00951]　 Re: 並列無限個の電気抵抗
Date: Sun, 1 Feb 2004 19:22:04 From:Ando S.
Ando S.です。
Urataさん、桜井さん、こんばんは。

「電流の実質は電子の流れだから、無限小の電流はありえなくて、電子1個 に対応する電流が最小である」という視点から、「並列無限個の電気抵抗」 問題を考察される方があるかもしれないというのは、予想しておりました。

私は、これについては、次のような意見をもっています。 第一に、この問題の意図は、オームの法則、すなわち、V=I・Rという公式に かかわる問題であるということだと思います。

（1） まず、いきなり無限個ではなく、n個の有限並列抵抗を考えますと、 回路全体に流れる電流をIとしたとき、並列部分における電圧降下は、V=I・ R/nとなります。ここで、nを無限大にしますと、R/n＝０と見なせます。そ して、並列部分の電圧降下は、V=０です。すなわち、全体の抵抗は、2Rで す。これが一つの答えです。

（2） つぎに、V=I・R/nという式は、V＝（I/n）・Rと書き直せます。I/nの 部分は、並列抵抗各1個に等しく流れる電流値を示しています。ここで、nを 無限大にします。すると、I/nは、限りなくゼロにちかづきます。前の式 は、V/R＝I/nと変形でき、nを無限大にするわけですから、等式が成立する ためには、Rが無限大でなければならないことになります。つまり、並列部 分の抵抗は、無限大になるということになるわけです。

（1）と（2）は、同じオームの法則から計算したのに、あきらかに矛盾しま す。パラドックスです。どちらが正しいのでしょう。また、どこにまちがい があるのでしょう。

Urataさん、以上のような視点で考えられてはどうでしょうか？

つぎに、Urataさんの指摘された問題ですが、本当のところは、私にもわか りません。
確かに、ある瞬間における電子の数より、並列抵抗の数が多ければ、言われ るような疑問はあるのかもしれません。しかし、この問題では、電流は、時 間的に流れつづけるということを前提にしています。つまり、電子は、次か ら次と無限に供給されます。だから、瞬間的には、各抵抗に流れる電子の数 にばらつきが生じたとしても、結局は各抵抗に流れる電子の数は平均され て、同じになると見なしてよいのではないでしょうか?。また、電子の数が 少なければ、それに応じて電圧が十分高いと考えればよいように思います が。

あるいは、ひょっとして、電子は量子力学的には波の性質も有していますか ら、波として1個の電子が複数の抵抗を流れるということもあるのかもしれ ません。実際、2つのスリットを通しての干渉実験では、1個の電子が2つの スリットを通過すると考えざるを得ないという事実もあるようですから。



[danwa:0952]　Re: 並列無限個の電気抵抗
Date: Mon, 2 Feb 2004 17:57:52 From:桜井
　桜井です。

　Ando S.さん、Urataさん、こんにちは。

　(1)についてはオームに法則そのもので間違いはありません。

　 　ところでオームの法則では、何の値を求めるかで式の形が変わるわけで すが、V/R＝I/nの場合、Vが固定値であればI/nが無限小を取ったとき、確 かにRは無限大になりますが、Vを0とすると、Rはそのままでこの式は成立 するんじゃないでしょうか。

　 　現実の問題としては、Rをどんどん並列にしていくと、抵抗値の減少に 伴い、抵抗両端の電圧Vはどんどん下がって、最終的にはショート状態に なり、V=0となります。

　 　実際にはあり得ませんが、もし抵抗の数が電子の数より多くなれば、電 流の流れない抵抗もあるのではないでしょうか。

　 　非常に大きな断面積の導体に、ごく微少の電流を流したときの、導体内 の電子の経路はどうなるんでしょうね。

　 　高周波の場合表皮効果と行って導体表面近くの電流密度が高く、中心部 分には流れにくいことが知られています。

　 　オームの法則も、底が深いですね。

　


[danwa:0953]　Re: 並列無限個の電気抵抗
Date: Mon, 2 Feb 2004 21:52:03 From:Ando S.
Ando S.です。談話室のみなさん、こんばんは。
意外とこの話題が持ちますね。

[danwa:0952]桜井さん：　
> すが、V/R＝I/nの場合、Vが固定値であればI/nが無限小を取ったとき、確
> かにRは無限大になりますが、Vを0とすると、Rはそのままでこの式は成立
> するんじゃないでしょうか。

（並列部分の電圧降下を）V＝0としてよい根拠は何でしょうか。（1）の答 え（R/∞=0）を流用すればV＝0ですが、それではパラドックスになりませ ん。

[danwa:0952]桜井さん：
> 　現実の問題としては、Rをどんどん並列にしていくと、抵抗値の減少に
> 伴い、抵抗両端の電圧Vはどんどん下がって、最終的にはショート状態に
> なり、V=0となります。

現実の問題を持ち出したら、やはりパラドックスにはならないと思います。

「アキレスは、現実には、亀を追い抜くではないか」 と言っているのと、同じだと思います。

[danwa:0952]桜井さん：
> 　実際にはあり得ませんが、もし抵抗の数が電子の数より多くなれば、電
> 流の流れない抵抗もあるのではないでしょうか。

これは、私にもよくわかりません。
私の考えとしては、瞬間的にはそうかもしれませんが、回路がずっとオン状 態で無限に電子が供給されているというのが問題の前提ですから、前回の投 稿でも言いましたように、

[danwa:0951]Ando S.：
「瞬間的には、各抵抗に流れる電子の数にばらつきが生じたとしても、結局 は各抵抗に流れる電子の数は平均されて、同じになると見なしてよいのでは ないでしょうか?。」

と、思います。

私としては、答えは、桜井さんと同じく（1）が正しいのだと思います。 それならば、（2）のどこに問題があるのか。どのように整理すればよいの か。ここが正しく整理されないと、このパラドックスを解いたことにはなら ないと思います。
少なくとも、（1）を根拠に（2）を否定するのは、論理的にルール違反だと 思います。


[danwa:0954]　Re: 並列無限個の電気抵抗
Date: Tue, 3 Feb 2004 21:41:56 From:Ando S.
Ando S.です。
みなさん、こんばんは。

ところで、桜井さん、失礼ながら、もう一言、言わせてください。

[danwa: 0952]桜井さん：
> 　ところでオームの法則では、何の値を求めるかで式の形が変わるわけで
> すが、V/R＝I/nの場合、Vが固定値であればI/nが無限小を取ったとき、確
> かにRは無限大になりますが、Vを0とすると、Rはそのままでこの式は成立
> するんじゃないでしょうか。
> 　
> 　現実の問題としては、Rをどんどん並列にしていくと、抵抗値の減少に
> 伴い、抵抗両端の電圧Vはどんどん下がって、最終的にはショート状態に
> なり、V=0となります。

　 V/R＝I/nという式の右辺は、電流値をあらわしています。nが無限大になる ことで、電流は限りなくゼロになります。
そして、桜井さんの言われるように左辺のVを0とすると、等式は成立しま す。しかし、式の持つ意味は、次のようなことになります。

「並列抵抗部の電圧降下はゼロ、そこに流れる電流もゼロ」

しかし、抵抗に電流が流れなければ、電圧降下はゼロに決まってます。そし て、並列部分で電流が流れなければ、回路全体にも電流は流れません。やっ ぱり、並列部分は、無限大の抵抗値になってしまいます。結局、矛盾は解決 されません。

n個の有限の並列抵抗でnを多くすればするほど、並列部の抵抗値はどんどん 小さくなっていくはずなのに、nを∞とすると、とたんに無限大の抵抗値が 出現するこのパラドックス。やはり、おもしろいですね。


[danwa:0955]　Re: 並列無限個の電気抵抗
Date: Fri, 6 Feb 2004 12:27:28 From:桜井
　桜井です。

　大分間が空いてしまいましたが、もう一言。

　 　最初にAndoさんが提起されたとき、

　 >しかし、ちょっと待ってください。真ん中の無限にある抵抗の各1個に流れ
>る電流は、分散されることで限りなくゼロになります。つまり、真ん中の抵
>抗のどれにも電流が流れなくなるのです。したがって、電流が流れないとい
>うことからすると、全体の抵抗値は無限大になると言えます。　

　という項目がありますが、電流の最小単位は電子１個ですから、これ以 上電流を細分化することは出来ません。この回路の場合、電流はV/2R以上 流れることは出来ないので、電子の数は有限です。

　 　ですから分散されることで限りなくゼロになります。（この表現も、実 は限りなくゼロに近づきます、ですね）

　 　だから抵抗のが電子の総数を超えれば、「どれにも流れない」のではな く、流れない抵抗もある、ということでしょう。

　 　ゼノンのパラドックスは、幾何学的な位置の総数が問題になっているの で、無限に分割が可能ですが、電気回路では電子という分割不可能な粒子 が存在するので、このパラドックスは、初めから成立しないと思います。

>V/R＝I/nという式の右辺は、電流値をあらわしています。nが無限大になる
>ことで、電流は限りなくゼロになります。
>そして、桜井さんの言われるように左辺のVを0とすると、等式は成立しま
>す。しかし、式の持つ意味は、次のようなことになります。
>
>「並列抵抗部の電圧降下はゼロ、そこに流れる電流もゼロ」
>
>しかし、抵抗に電流が流れなければ、電圧降下はゼロに決まってます。そし
>て、並列部分で電流が流れなければ、回路全体にも電流は流れません。やっ
>ぱり、並列部分は、無限大の抵抗値になってしまいます。結局、矛盾は解決
>されません。

　さらにこの部分については、電気屋としてはオームの法則を馬鹿正直に 解釈するので、V/R＝I/nという式を見せられれば、これはI/n＝V/Rと置き 換え、電流I/n＝0とするためにはRは最初に与えられた値だから、Vをゼロ にすればいい、と勝手に思ってしまうし、矛盾を感じることはありません。
>
>n個の有限の並列抵抗でnを多くすればするほど、並列部の抵抗値はどんどん
>小さくなっていくはずなのに、nを∞とすると、とたんに無限大の抵抗値が
>出現するこのパラドックス。やはり、おもしろいですね。

雷が落ちたとき、有限個数の電子が、非常に大きな導体である地球に拡散 するわけですが、この時の電子の行方を想像するとおもしろいですね。


[danwa:0956]　Re: 並列無限個の電気抵抗
Date: Sat, 7 Feb 2004 00:27:08 From:Ando S.
Ando S.です。
桜井さん、お付き合いありがとうございます。
談話室のみなさん、こんばんは。

無限小×無限大＝有限値

ということになるであろうということでは、桜井さんと同じ立場だったので すが、ここに来てちょっと変わってきたようです。

[danwa:0955]桜井さん：
> 電流を細分化することは出来ません。この回路の場合、電流はV/2R以上
> 流れることは出来ないので、電子の数は有限です。

「細分化されない」とすれば、無限小×無限大＝有限値と言われた立場と矛 ~~~~~~~ 盾すると思いますが。

[同danwa]桜井さん：
> だから抵抗の（数）が電子の総数を超えれば、「どれにも流れない」ので はな
> く、流れない抵抗もある、ということでしょう。

桜井さんの言われるのは、「瞬間的には」ということでしょう。
電子は無限に回路に供給されつづけるわけですから、長期的にみたら、どの 抵抗にも平均して同じ数の電子が流れるのではないでしょうか。それとも、 永続的に流れる抵抗と流れない抵抗に2分化されるということでしょうか。

いずれにしても、「電子の個数」については、これぐらいにしておきたいと 思います。それよりも本題にもどり、このパラドックスについての私の考え をまとめたいと思います。

(1) V=I・（R/n) ・・・ n → ∞で、並列部の合成抵抗値が、ゼロになる。
(2) V=(I/n)・R あるいは V/R=I/n ・・・ n → ∞で、電流値は、無限小 （ゼロ）になる。

(2)の式は、(1)の式を変形しただけです。しかし、この変形で、式の意味 が、(1)とは変わってしまったと、私は考えます。

(1)は、並列部分全体をまとめて取り扱っています。すなわち、並列部分に 流れる電流がIで、その合成抵抗がR/nあることを、示しています。だから、 n → ∞とすると、合成抵抗はゼロになります。

一方、(2)は、並列部分を構成する1本の抵抗に流れる電流を示す式に変わっ ているのだと思います。各抵抗に流れる電流は、等しくI/nです。抵抗値 は、Rで変わりありません。n → ∞とすると、各抵抗に流れる電流は、等し く無限小になります。また、電圧降下Vも無限小になります。そして、並列 部は、このような状態の抵抗が無限個集まるのです。並列部全体の電流値 は、無限小×無限大＝Iになります（合成抵抗は、当然ゼロです）。めでた く、(1)と同じ結果になりました。

これが、私なりの、解答です。

「無限小×無限大＝有限値」は、実は、式(2)をもとにした説明であったと いうことです。


[danwa:0957]　Re: 並列無限個の電気抵抗
Date: Tue, 10 Feb 2004 19:08:06 From:山田
山田です。

　この種の問題も面白いですね。
　２番目の抵抗の値がどんな値(０Ωでも)であれ、全体を流れる電流をＩとする とＩは

　 lim ((Ｉ/ｎ)*ｎ) ＝Ｉ　　＜Ｉ/ｎは並列の一つの抵抗を流れる電流値＞

n →∞ 　と表されます。

　ただこれだけのことではありませんか。


[danwa:0958]　Re: 並列無限個の電気抵抗
Date: Tue, 10 Feb 2004 22:08:35 From:Ando S.
Ando S.です。みなさん、こんばんは。

[danwa:0957]山田さん：
> 　 lim ((Ｉ/ｎ)*ｎ) ＝Ｉ　　＜Ｉ/ｎは並列の一つの抵抗を流れる電 流値＞
> n →∞
>
> 　と表されます。
>
> 　ただこれだけのことではありませんか。

ただこれだけのことと言われても、私にとっては、簡単ではなかったです ね。だいたいが、山田さんが示されたこの極限式を計算するにしても、先に 分母と分子の関係からnを省略してからnを無限大にもっていってよいのや ら、それすら私にはよくわかりません。そもそもが、先にnを省略してしま えば、nを無限大にすることが無意味に見えます。

nを先に省略することが許されなければ、無限小×無限大という式になりま すが、それが有限の値（この場合は、I）をもつと言えるのかどうかも、当 初は不明でした。私としては、山田さんの式ではなく、次の式の方がしっく りきます。

∞
�堯吻�Ik） = I
k=1

ここで、すべての��Ik は等しく（並列抵抗値がすべて等しいとして）、
��Ik= lim(I/n)
n → ∞

私としては、このあたりを数学的な側面から説明してくれる方があれば、う れしいです。

さらに付け加えれば、V=I*（R/n） と V=（I/n）*R という2つの式は（Vは 並列部の電圧降下）、数学的に同じこと（単なる式の変形）かもしれません が、電気回路理論としては、それぞれ別のことを意味しているという点が重 要です。この区別がつかなければ、パラドックスにはまり込みます（解けま せん）。


[danwa:0964]　Re: 並列無限個の電気抵抗
Date: Wed, 14 Apr 2004 20:50:39 From: ころたん
はじめまして、ころたんです。技術者です。

無限個の電気抵抗のついてはパラドックスに陥ることの一つです。
これらを考えるには基本設定を確認して既成観念を省いて考察します。 パラドックスの問題のほとんどは条件設定理解の間違いと自分世界中心（狭い３次元空間）から起きます。
まず、ゼロと無限は数字ではなく特殊な世界を表す記号と考えるべきです。

ゼロに有限数をかけてもゼロです。
無限に有限数をかけても無限です。
しかし、ゼロに無限をかけると、結果はあらゆる有限数です。

有限の抵抗値を無限個ということは結果は無限小です。これはゼロオームを意味します。


・・・さて、この先 話はどうなるのか？お楽しみに！・・・
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